ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
# Y( B1 w2 O0 ~( ?密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

9 S& @% e2 M8 W( D" gM = xa + kb ( mod p - 1 )

, W- K( G* m. E- W; Q签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
& j2 e+ _( o5 K" N; G! D% z验证时要验证下式：
" ?3 F% m; C$ E/ j
* [, S- r* c0 L: _y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
3 v0 W5 z7 f3 ]" l" d, R
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
6 E2 @$ U5 E1 ~1 O1 b6 h, T, R: tElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
# c |: w3 e: B# r) w- i
! O9 R8 T) n' T0 D& La = g^k ( mod p )
+ i" M, I' t2 G9 e2 x( ?# Cb = y^k M ( mod p )


( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
% `7 q& B E) g/ h
M = b / a^x ( mod p )
6 c/ d- r( b7 J7 X
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
" S/ _1 F7 s! R6 g8 _因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
, R0 e* f; m, n) Q' T( W' W/ d
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。