ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
( H$ z7 u# [, Q0 z密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
- R1 `5 Y4 x# h" [9 {7 xElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
# U* A& t$ G7 a0 _' k" J: R
2 z: Y- b3 q) f9 J8 ~M = xa + kb ( mod p - 1 )
3 M7 Q* \, d$ C8 K8 F
& M) e9 F6 S& v4 X3 ~- ?签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
0 i1 b+ W8 A; K8 W! Y' ]- U, ]
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
4 _8 P; Q# O5 G: [0 `
a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
7 ?! a* r+ q# }0 U9 ]9 n2 Z; i% q

% W+ x$ i* @* R: U* |$ o( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )
) M2 v0 w8 {/ E5 S
* v( b" d$ a# u9 O3 a# j3 @　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
! S* G% q# z4 E$ \# x. e
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
+ b" w+ Z; E$ ?* u变而来。