ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
6 I! o/ o# X0 W: o/ Y% j密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
7 X, P H8 e# hElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
' A) j1 }5 i( i% p0 l( \# X' v
* k3 A$ i- j4 Aa = g^k ( mod p )
2 P i: h) t" [3 @6 m1 ~- p& i5 e再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
4 Y/ K( J0 |" y$ P6 A/ ?9 g2 b% o
6 P1 f0 j3 I# qM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：

& N5 m8 N0 A7 f% X; D) m* n1 r3 Xy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
- P3 @6 [. @4 r
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
h% `1 E R) s/ z7 x6 a
a = g^k ( mod p )
% p* s t$ x! P7 n. cb = y^k M ( mod p )

+ O% e+ E5 Y) ^
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

! _7 Y% r( v3 p6 E$ P; p2 p5 KM = b / a^x ( mod p )
4 s E, h1 C8 @3 ]$ w B5 ]
* G- u! Q; ^: x$ W1 H- B　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
& J' K8 G6 f) T* ?6 H: l因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
* L8 b6 J" R- @1 w/ d
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。