ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
$ F$ R$ D: u0 _7 q( T+ d* K2 ]! j密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
/ V$ V3 }4 \1 U1 {" pElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
9 ?6 C: t( w# {& S8 B" J* w6 S8 L) s
a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
% i% ~0 ?& R9 s4 z9 c+ B) S) E
( H3 ]' i; | O |% T0 uM = xa + kb ( mod p - 1 )
/ m! ?: x- C- @+ v3 t/ k/ w: D0 }
$ g4 Y+ `! Z5 j签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
( K7 H# \" v _3 B验证时要验证下式：

y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
/ [" f* }( c4 p7 B9 ^( oElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
W" Z8 }/ n2 n5 c+ u! b! [) X$ i( N
A. W$ k5 K0 D6 Xa = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )

1 m1 {; p4 o6 E; X* a \9 S) L
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
! Q0 q+ Q/ b9 `. g
M = b / a^x ( mod p )
. T8 M* R+ b) k' I# Y) a
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
1 S; m1 z. b+ i8 I. [* q! F8 s因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。