ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
4 \7 k* I% C( V" P* ?8 H密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
* z1 C% O7 x: c- kElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
7 p+ Z/ D6 u' k( ]# V; \# y& j再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
* C D/ u9 a- g
M = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
8 ^/ U3 |; X& v6 g验证时要验证下式：

y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
( I4 `* \" i$ g8 o, G
& F, o/ |9 ]; A& U% T/ c% Y同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
1 z' b, C/ l" }9 Z
. ~5 s I7 G/ D. g2 ^" u) ca = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
+ r4 Z+ I4 H( i, L* T& p4 ~
% Q) Z6 O+ @ N0 R( `
% \1 y2 Z/ n' f: l" Z( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )
- c4 r4 G4 V$ r3 X; o! B; g
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

1 I; i8 ~: R5 s3 B9 g$ M　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。