ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
1 K9 ^; B$ H, n, D密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

. j6 f9 f4 N) E1 sa = g^k ( mod p )
# v$ z4 B: ~3 |& m& c再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
3 o4 I$ w m8 h7 U3 d/ }$ U
M = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
. l, A9 H+ d) d$ y1 w* Q( F. `' U
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
6 Q' _3 ^6 C/ ?( H$ M( J; h
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
1 X) O* C, ?0 o. T& rElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
9 F3 I2 t* p+ ~" ]6 z8 N6 f

X: j7 S! S" M3 h S7 D H( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

# A( a& ~' W3 A/ mM = b / a^x ( mod p )

　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
0 ?( W( [! f; U; x* h因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
T' {) \ `& C( N; I* K9 D B% z
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。