ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

+ |, C) z( s: E! c. i sa = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
1 l% S* z* X; Q/ R! E0 k
M = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
5 u# Q& T( d% I3 ^$ U% P8 R验证时要验证下式：

# a# w$ A p4 t! U7 [0 G; r$ Sy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
' X5 v4 _3 b7 q" U7 c: k5 Pb = y^k M ( mod p )


7 ~2 l9 B6 J: c" m. r* S& G ]! L( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
: U' T1 a7 w3 S* }% p
I2 J- i; o! l4 s4 S( K/ zM = b / a^x ( mod p )

/ K( v" ^ N# V! c' r0 X　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
, g- M; Z: [) d5 l/ |3 l9 K4 ^因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
. K% q) D0 R( @# t
5 r' A( G$ ` V& N# _7 p　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。