ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
; z+ s3 w3 f0 M0 c( N" ]密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
5 ^8 V% q( |& l; ?6 p, eElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
& N$ ^ {9 ~/ f) k6 ?& {5 x
a = g^k ( mod p )
) x& j& X( m% B7 O再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
/ }8 W; N% V' q p o2 Q9 o, u
7 R0 i* v Z& M0 NM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
0 n0 F! ]4 j5 { {7 b( c% E验证时要验证下式：

+ b. @6 r1 W: D6 S3 J! \8 S' _y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

0 S2 `$ ]& J5 P. q q同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
$ \% t& o( V* J
( F, S4 d1 l( ~9 |' M, g( }a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
* E. r# w5 w) }" Z" O7 I/ h/ N
6 _/ l* a6 A' p8 a, r; I; P
- y X8 U) B. Q7 q+ R2 ]( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
% A+ w1 u8 P0 b
M = b / a^x ( mod p )

7 E1 ?9 h# h$ g; s　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
* c9 V8 h1 H( M) r0 \因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
# _4 V1 p/ e% Q& i/ E# C2 b5 H4 P
4 q# l$ o }: i5 D' A& E　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。