ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
+ T" l% X( r8 O# m: S5 Y5 {. JElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

: k- ]: u7 O1 D% |% ~a = g^k ( mod p )
6 a$ F2 m+ O# w4 m" K3 P再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
- t8 A& d; O. R. B' m
I! T: r& A0 I7 |/ YM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
\7 i1 K8 f R; K, f+ P验证时要验证下式：

y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
( R k& r& J5 i0 M
2 k' o( o4 B" F# H7 D同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
* c3 G( Y6 k1 F1 ?- @: EElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

2 Q4 z. s" \' O4 k* Y9 m$ d# g: ta = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )

5 w1 p" w' z$ A% [
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
2 N. M1 b" R4 O
M = b / a^x ( mod p )
% {" r8 d3 f9 [0 v! \
0 [& e0 }6 z& @+ g$ j* a4 m　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
7 `8 @: {- c- h* _! |
8 l( ]7 J' m e' j$ i4 b　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
+ V% V/ Z8 E$ p1 n. A( n. P变而来。