ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
- K1 c$ y! [4 A8 E% r [4 }* Z# `ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
. `7 z% q O4 H4 z9 z& U2 ^9 e: X# d# r
9 t' \4 G d ?& h: P! x" q# `a = g^k ( mod p )
# r9 b# B/ Y, P, g% Z再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
9 q& t4 U1 o( T& R8 L; A验证时要验证下式：
8 V+ [! K; Y; H9 G# ^3 x
# X" m& b; e ?$ t) z# M& T+ V8 Gy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
, @/ V ^1 E; D. ~0 n* ]5 w8 v
1 C7 {. T: B! R7 w u. b同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
( y7 v: S9 j5 wb = y^k M ( mod p )
4 x, k! a0 F* l1 d" J, T0 R

1 M- T! k, g+ g5 p/ x( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
) Q' I4 C! T8 F' v
M = b / a^x ( mod p )

& t% f0 {0 M7 `& W8 g( |　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
! j. u& O/ U9 `/ {8 b因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

$ ?$ s2 Q6 c4 Q6 U　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
/ _' H! s9 D+ d2 S' `变而来。