ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
+ p' {! X, O8 p* R% m1 t密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
1 _) C0 k O5 E' D
9 |' k) ?- ?$ Ua = g^k ( mod p )
! ?4 @# b8 r c再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

3 ^3 }2 ^2 U) ?M = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
: C" W: U6 F; w0 ]# h! t
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

$ Q4 |& j) A# B2 I同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
, X/ T3 U; n2 u7 D# m8 e
a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )


( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )
! t% H, U" x L# }
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
4 u' a' P( Z/ t4 I/ o5 a4 W因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
! O) `/ z. g$ V- t; b' w
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
9 G7 [4 {. p+ _' E% E变而来。