ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
- A, b/ I, [: I密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
2 r% X% @# d; u/ X# K# [) ]: t
a = g^k ( mod p )
j6 L! L1 D9 p# j2 C& K1 R, k; `再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )
' u0 ~4 N# F) s" q0 L
签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
% ^* N' v& u- {" u验证时要验证下式：

y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

4 U& {& D# [! x8 } P$ h/ E同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
+ Y1 W. x% }# c# H$ {* N" zElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

2 l+ ]2 _6 r/ ta = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )


; R5 Q! K9 O; ]( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

4 }- ~1 g6 W! l* L7 F UM = b / a^x ( mod p )

7 f) T' F/ w& m6 {& `4 ]　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
1 `" ^5 L$ Y( C5 z1 [0 J
% Q) C" ^/ C, B. H: [- ]& Y　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
8 I* u( v+ G, M; A: _; S3 n变而来。