ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
* f* K( i0 t: }" y7 l& @+ n6 \密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

, T: L8 @( P3 s5 ?1 j5 f6 b& wa = g^k ( mod p )
2 @$ g8 l# }6 l9 |" m再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
6 T" d: Y Q( R( P, E8 d7 m
M = xa + kb ( mod p - 1 )
% ]5 t9 c9 E: a& H
签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
- l2 Q' i: P! v6 D# s6 l验证时要验证下式：
& N2 S+ t4 U. W+ O g$ p
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
3 J! N7 B+ f! o( UElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
9 E+ m; {4 g7 O O2 P) b
1 O) i( W2 l+ {) [5 P) V4 Pa = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
( t& R S8 v! p7 ~

+ o E; ~2 O; L" @& a [" A9 _( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
" D% G# A7 a( n. p7 f
M = b / a^x ( mod p )
( k8 F# ^7 b$ P. C6 n
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

( l5 R. j7 i3 M. m2 l' }　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。