ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
$ z0 y7 h# C# t8 KElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
/ V7 @( |2 F S; J6 u8 E再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

; B! o+ R4 I: F( k& IM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
: l( L1 A/ c* M7 K2 T验证时要验证下式：
" q b+ z) i/ [. t+ I
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
9 N6 I7 o. h* Q# {ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
( v$ D+ k. M6 @% q' D. J3 n
a = g^k ( mod p )
' v1 k* ^0 L8 `3 v# i! P3 Db = y^k M ( mod p )

5 x" Q$ t( L; x* a9 T
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
( ]) n% j: {9 M3 G2 t4 V3 \
M = b / a^x ( mod p )

) N# z1 Q! }% q- j% Q　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
* ?) e' L/ r2 i+ R s因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
+ Q# |' c7 ?4 v( R6 e变而来。