ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
+ q, q; }" S }. |5 _+ T5 fElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
0 W' h* F8 Q4 r1 a
a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
/ k$ n' j" n# P, m+ _
M = xa + kb ( mod p - 1 )
# X z) a e5 V$ C
- P, N" ~; ^7 j& |- j签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
, h; L/ \$ f- e; U1 E& ]; L
, T D# _1 B2 L gy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
* z8 `/ r) v% j( M; Q! W/ H
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

& o& Q% q( S5 y' Xa = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )

8 Q! Y t3 v( j, K
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
8 V( |! N* s0 M8 H
M = b / a^x ( mod p )
1 j# T- j4 N+ o, F4 n3 i0 ^4 `
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

( p2 t& a0 l/ n# U* V8 H　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。