ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
% `8 P- ~% Z( }7 Q, A- O3 w! E, G4 `4 w密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
. Z; L6 G5 C9 n% l( G再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
5 l/ M- \8 B* O, E* \3 ]
: z- h+ u' [. AM = xa + kb ( mod p - 1 )

& S( q$ q" |! h9 e5 R# _ y签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
2 P' J( B( t$ R- Q' l2 `验证时要验证下式：
! i' H4 ~9 X" H6 W T+ ], W! E
6 l% N d/ I1 sy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

' _4 m i6 E1 U" ~! d. k: g$ ?$ Q同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
3 E0 U+ u2 s4 z) E2 K% lElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

+ N/ J; G6 i$ `- t$ Ka = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )

. ~; @ }# E! Q4 t8 {( c
9 B% P. e. Y* @- L( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
9 u/ e7 }3 n; ^5 d" E
M = b / a^x ( mod p )

% W. [* |3 n# f　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
( @4 x2 u/ D# k因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
$ N7 m# E( z! y1 l; O变而来。