ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
$ G2 B0 t" f& i& c% g) X9 C$ j }ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
9 D% f) ^8 }$ W# a% g$ S5 ]! w
a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
# o* O; {1 |$ D& n( {# a
M = xa + kb ( mod p - 1 )
& P/ I, A- ~+ V$ q7 c; f
签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
( c; h& J- R$ n% O$ {5 ~
/ {0 V8 D3 }/ i0 M& f4 E# w9 @y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
0 f* T' f" s1 ~! x; BElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
7 a5 E- b8 y t! k: G9 xb = y^k M ( mod p )
' Y5 R- d9 D- r5 r" h/ v, r4 p
: @! H/ f k5 f% D
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
: n9 J) l' b, E, E. \
M = b / a^x ( mod p )

　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
3 w. _" l B- u, |6 G
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。