ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
0 V. R, H- g* q1 U% c密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
/ ?2 k4 q; n9 ?* xElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )
& p& w: J* ^1 t+ G: S6 p& z3 r# h4 i
x) z3 ?$ _9 S. z9 k! I+ `签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
) e# C2 P9 m5 y8 c5 l. c5 Z/ T
6 ^6 }! L. N, v2 r; Cy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
% R/ J; G8 G+ a. F; O# L0 t
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
8 j- ?/ |9 |- x# C- S* x0 U- ^' Gb = y^k M ( mod p )
6 \( s) o% T8 B* t6 m

# N: f! b# u/ ]! H( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
, ^' V+ }3 X+ m3 q* t* U2 g
3 F& I4 @: k" ZM = b / a^x ( mod p )

　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。