ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
' }1 j8 l, V, r! S密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
5 k& r; s( ]8 d% YElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
$ Q2 C, P# n0 y! V, L. }, Y6 @7 B3 z" \
a = g^k ( mod p )
! V9 m- `. c. o/ R. V% p! e再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
* L9 j. G: D4 ]
M = xa + kb ( mod p - 1 )
) Q6 Q. n8 d( S/ Z
签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
5 r4 z- o# a V; K' {3 s验证时要验证下式：
% @+ W8 ~4 O( C! E7 m4 q
# y6 @* z0 A! U4 `2 R' y4 l0 ?y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

7 {9 _" a3 M8 x同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
( h3 f6 m" J2 _6 B( Wb = y^k M ( mod p )

7 n/ @% a, X c+ f# k
- O8 k9 E4 }2 w5 {# Q F) A" e( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
) p( g" w% V3 q# P0 T; D9 x7 H
# ?. A4 `( E! G3 q) ^M = b / a^x ( mod p )
2 o) Y8 k) B% t. s1 l
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
& Z* T' U! T/ W% S4 ?) m4 c* w
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。