ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
* h9 l0 [% E: y7 C密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

; S0 k( B. A# ha = g^k ( mod p )
: E+ c ]0 M- E& {" I, b再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
% i: a! X2 z Y3 l
# l6 l& K. a" W3 l2 zM = xa + kb ( mod p - 1 )

" r: \5 ^9 n% h% V8 _5 G签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：

5 F8 B0 j" i% a& t+ p! Vy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
$ x1 d8 [ F2 _8 ]ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
1 v/ I, ?) W/ F
9 T/ W4 w- D# c* ^- Wa = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )


( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

5 {& p# f9 p0 q- X) p, U6 ^M = b / a^x ( mod p )
% m2 v4 G7 G" d3 a6 j
; ~& V+ a4 S- `+ F4 C　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

: o: I# p* |8 X9 _9 a　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。