ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
# N* U5 F) A& K( i; u, y, C' J
a = g^k ( mod p )
8 P" B% h0 u) z& H0 O5 ], k再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )
$ d7 ~7 l: g) p& @* b7 u
. Q3 u, `, h8 n) h& p5 d7 [( L签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
0 r) |6 K' Q1 s1 W验证时要验证下式：
1 e+ }( i; z6 B# R1 b) h7 w
8 F- E, x* G7 J! u4 Ny^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
1 y. C" Q6 u7 _6 l+ y2 {
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
/ c0 {" K, D4 s8 w. }

; z/ c. _& b' Q. S( Y# e; V2 _; T( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
~# v- n. j$ C* l* w
8 r9 y8 P, w7 `M = b / a^x ( mod p )
0 H r) m0 A1 N* {" {& U+ v8 M
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
- H+ ^4 k$ ~& L4 u, @( v因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
5 a( v c% w) [7 V5 M' Z" ]变而来。