ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
# A7 z4 h+ w, C S! ?" V密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
6 _7 z# Q) F) e! |* k4 ~! S5 rElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
- B. Q5 ~0 m. o, a
a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
6 ~3 T2 \9 U) x8 Q: a
M = xa + kb ( mod p - 1 )
/ m! f/ R6 Y7 }& [
7 S: ~9 q) E6 d3 v签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
, A1 q% O' Z$ |( M, X" ]
( H" o6 }6 z' @& t8 A& n! E) H4 Py^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
* S. ?9 M1 _* a% z# d+ G, V
* I% }, T# i# m; B' c, d同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
+ o7 c/ H) z% J5 ~; v! \2 x, ~
a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )


! d" U' ?% G: J* U0 G' k/ x( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )
" @) ^/ X% k1 r. R1 o4 M& y7 M- V6 ~4 e
& ?# b% M% v8 D　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
4 u' x% @" V2 O因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
+ P* S& s4 I6 Z9 b! y
/ h4 u6 @0 C E# F, c0 F+ s- R5 K　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
0 M2 S5 j8 N$ J/ e/ O' ~变而来。