ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
8 d, P1 S3 L1 \5 q6 s
a = g^k ( mod p )
8 J/ i1 K0 R! j: q+ a1 W6 `再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

- R/ x* ]: e/ _8 g9 e7 ]8 CM = xa + kb ( mod p - 1 )
" c6 i# j( q u
签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：

; ]3 \7 D; u$ ]y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

4 X) P C, o) u5 b: r# _- w3 M. ha = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
: \0 e/ S- d' i" g% r, i& g% c
8 Y9 @: G8 S1 v3 j h' u! k
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

- G9 W! N4 a6 k& |M = b / a^x ( mod p )

　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

1 X9 `; ]% a$ s% z: a" w7 h3 s　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。