ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
5 o, |7 v( P: J% y! aElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
' U& ~5 a$ a8 {+ j+ D; `2 U
" M4 r" e! w1 U' pa = g^k ( mod p )
# r( O4 A1 t. q% A7 o% x8 D再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

4 E( |6 w+ A' u5 kM = xa + kb ( mod p - 1 )

, ?# X& k) H2 Z: \签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
; M& v( O/ Y/ \验证时要验证下式：
% }. i) [! B5 z
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
: R1 g7 O' I# \2 m: B
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
- l/ _9 a6 `) [. u( GElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
# V! r: ~$ y! ^" h0 A2 V" |
; ^( S4 d$ P1 p
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
+ r' U+ b" a/ N7 u! C
M = b / a^x ( mod p )
9 ~% q* G# F$ b" N/ H1 M: |; t# c
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
p. e. ~, T& i/ U4 {8 j& z* p
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。