ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
3 @ k0 d8 c, n0 ]5 O" \% [( i, t( _ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
# t' n' e4 u5 G3 F
4 y4 c5 X: q+ F% X1 }2 ta = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

! z6 B& b0 G# u) LM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
, v7 ~3 G r2 Z& ^8 n( @验证时要验证下式：
) b. q% A2 o8 _+ L6 t* b& D
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

7 o7 M) a2 v$ f, A同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
# ]" c% `! b. X0 S3 j* EElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
; ^/ m; Z. G ~0 _/ K
1 ?$ H+ _* W, M6 Ua = g^k ( mod p )
! o: u( b) ]8 i/ X& w! kb = y^k M ( mod p )
/ n& H. w+ C r0 u/ h$ e7 o0 {
[: B4 V( l2 M5 w+ |$ @$ i
# H5 d8 Q4 \2 F$ w5 g4 }( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
8 M8 q. j& X: E
' w4 W; ]& q% ]& j; N: }1 sM = b / a^x ( mod p )
0 B/ K ]. t9 T {6 c. {7 e* S
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

7 [6 I) r; `* a$ i) O　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
0 \- {* D+ u. l! E* w/ v3 L变而来。