ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
2 I7 g5 O3 Z" [2 V1 |+ h) }ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
" {3 T" y+ J' y4 g. V2 T9 e; F再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

% f. k6 J; v( ]8 b9 t3 Y, _+ ]7 V2 GM = xa + kb ( mod p - 1 )
9 P/ }( X$ j9 y) j) U: Y$ X
4 V. P4 X; i6 l8 H) G: @签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
& y. ^! E6 S% S) I9 p( e6 Z验证时要验证下式：

y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
! v6 W- u& c$ d8 T8 c- u3 t
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
9 r. g+ l$ s) G# @% ^) u* x6 @ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

8 Z" S/ N+ V* b. Aa = g^k ( mod p )
5 ~7 u8 K: t1 D) ub = y^k M ( mod p )


( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

" D. ^* @& a- d! g# Q. a5 GM = b / a^x ( mod p )
) h2 m9 j' I$ h3 ?4 c1 U0 D& \# u/ E2 P
& ~3 k3 F A. `- Z0 W+ _　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
8 d! q9 M+ y2 w( C" u, q因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

) R, k& m, {) c3 U W　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。