ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
/ N. v/ n- |8 a. h' P密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
7 A8 e+ w' ?- }0 r
a = g^k ( mod p )
& T% O6 `4 x; ^1 @# t再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
& f: X; Z2 Y# ^% R7 ^$ ~- X" q1 R
M = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
7 G5 a: p+ d: l4 ?9 s+ f J( D验证时要验证下式：
9 j, J: |' H; n' x3 I
4 U% A9 Z1 z: S1 j0 F$ P; C6 [4 dy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
5 h/ g& O% R+ k1 e0 t+ [. W( b
' ]. }! ^! h6 r$ |9 a ^/ v同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
+ W. w) S5 h# H# ?
a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )

5 V4 {$ C2 M: N! N5 [, s. {# E
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

, D. L; @4 H% ]2 Y& ]- r& HM = b / a^x ( mod p )

8 j4 x6 K! o, O8 j2 x　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
K( J i$ l# k& I: N* t+ S因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
2 ^3 ^. T/ K4 F% n变而来。