ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
. K. S6 R4 w- m- _. m密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
s' Y* i8 `, @& a3 F
$ Y& N ~1 h Y/ z; za = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
+ \# X5 N5 p3 x, ]
6 P" n1 T) X+ o( K% NM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
: b3 O; s4 L4 D: Q! a+ f验证时要验证下式：

y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

( ?" z; [) u! l" \: u0 x8 y/ ]a = g^k ( mod p )
9 [8 i* Q& d3 q, l0 [b = y^k M ( mod p )


* c/ A) L3 `- z3 U( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
% Y6 ]/ J( H6 H& ]6 e
% D+ Y. W* k+ G# Q6 b, N& [1 HM = b / a^x ( mod p )
% e& k$ e- S* X4 \4 y4 ?; ]* {
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
! T0 f, `) U! m1 V! w
6 E: J0 Z: Q9 G" j1 U　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。