ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
; \% T I7 U: Q9 cElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

# r7 i( @; }9 za = g^k ( mod p )
) W& K5 `: q( d) ?: c# Y再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
! Z9 ]; h& H' q% N4 ^
M = xa + kb ( mod p - 1 )
2 N; `# V& ]$ n& T3 E: @# e2 a1 N9 u
/ V& i! ?, A) g& r$ Z! P9 e; t0 a( h签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
+ K7 g3 F: o) e9 {- C; j9 R% N验证时要验证下式：

y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
; |3 |# n. u; i# _; e
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

0 E# r& U7 r7 H$ v8 c1 n& Aa = g^k ( mod p )
% q; h( H' j2 S& kb = y^k M ( mod p )

: M% ~$ u0 R5 q0 g* N" L; m
8 e" O4 R% c" o b( n( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
6 X- H, ?2 D' @: z5 Z7 X: K6 Y
0 P2 ?4 f4 ~) W% ^* tM = b / a^x ( mod p )

3 e' f6 W: m2 J* x$ P　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
$ F) P1 S; s+ E( f+ Y& Q
& }1 ?5 U. B$ o; X$ O4 F　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。