ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
( m% x) \5 D0 T, V7 w密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
! G% j) n% q2 u% V$ SElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
* G% K: T8 z1 j |
a = g^k ( mod p )
9 w+ w: H F7 C再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )
; @4 Y, o" S9 s2 A3 L+ z. W
签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
& x% Z( R; W1 s E$ Q
5 x) Y4 J( ]+ Ty^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

, S6 C( e+ q) ?' y* @; p) v同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
& q6 K6 `( `& ~: pElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
* s6 C! E$ p) k% Lb = y^k M ( mod p )


1 m% M5 m/ y/ h- d8 a4 M) H( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
7 ^0 L4 g! t6 u
M = b / a^x ( mod p )

: @( x: p2 r/ `; @$ [# g* T　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
* |: G5 ? U+ H7 {# x因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
9 \: x' p& b M! c9 n. R4 A变而来。