ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
* m3 Y( j3 U7 G! O+ Q密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
1 k; u9 ^( V6 \& a/ a3 m: X: f) v
a = g^k ( mod p )
3 D, ]7 ?( B g6 k8 Y$ I( N2 h再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )

, z+ G* P$ \: s6 Z& v签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：

0 X n8 E F* R, [y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
# u. l6 d: M' r C8 P4 ?+ Z) C
7 Z. W" _# f* A+ i同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
4 s6 W4 W7 o' B5 }ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
" H) ?6 y& ?$ G" h2 x
a = g^k ( mod p )
R. }. c7 c4 v+ E* Ib = y^k M ( mod p )
- m. r3 o% F7 N, Y
2 U' K0 ^: U; J6 m1 `
5 q% ~: ~6 g4 v( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )

& g% X2 k( w- S2 I0 p　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
# l* ~& }4 Y0 S8 U
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
4 `6 A8 m& |6 @: ]+ w变而来。