ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
2 J. b, D$ u1 z密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
: y7 D2 d2 T2 P# L. j+ }6 ZElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

: b0 Z* F$ T: f1 B+ O6 aa = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
, \! o. O/ N' {& n( f+ b% }3 f
/ ~$ E% j: B* f( [( h5 zM = xa + kb ( mod p - 1 )
# z8 P& n! [: l$ X7 L" K
签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：

& c3 E( F+ f' } V; ?' a" Hy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

4 R9 n1 u$ f5 ]) U$ a* W) b同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
9 [$ E0 [; ~, H# {& V5 LElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
; o2 j: ~0 r3 ]2 j+ t
Q" d/ P I* M# c7 Qa = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
5 F% t! d2 u. F& m7 g' R7 K

( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

$ d; F( r' f1 T+ J: GM = b / a^x ( mod p )

- W2 ^. o- u: n7 ~2 s　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
& M( X- ]$ H; d# C! b+ L2 D9 J) D因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

1 ] a5 p! A/ _) F　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。