ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
9 M4 C. w: X) h+ A
- J. { J5 C5 `5 Ja = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )
1 a1 @/ f, l1 s/ z! L4 K5 {) l
9 i4 }6 F. m; r! I. D/ y) Z7 B签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
2 d/ z- z* K- t( z9 |$ Z# s
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

: H+ J, ^2 N/ U) ^6 x1 l' I同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
) k' A2 V9 e8 s1 g' v- o+ v$ Y! bElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
# L [& K& E* L
a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )


( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )

. Q6 k) [' j* E$ y' D( {8 p2 N- J; i　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
5 }# S+ V) r! L1 ?7 Q7 n2 V变而来。