ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
! K% m0 `5 h8 N, K3 M! s密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
2 c$ H/ m6 S$ C+ R7 o5 OElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
; z( Z/ ]1 Q1 I
! `' Q+ F1 X. {$ U8 Da = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
8 @ x2 \/ u+ _" N" q3 K) N3 L% W
M = xa + kb ( mod p - 1 )

" _" b9 \3 K0 ?1 D签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
+ \3 Y! g, E) k/ l$ D验证时要验证下式：

+ F1 `7 B, E1 _* c( y! P( Xy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
. v1 G8 J/ J" Y- N) t
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )

& @# u! c: b+ O2 {# R4 a; J3 c
" W& r6 a& z8 {# ?) W( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )

　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
/ O3 k. y4 f% \
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
$ r7 g+ e5 q. z8 s6 y变而来。