ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
/ {( p4 x9 D% e密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
' r/ ^7 r# x# p7 a4 z1 O# t
M = xa + kb ( mod p - 1 )
2 w6 `9 l, K- V
& m& O# y4 T0 o, k" c5 o* C签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
, B4 i% X2 I: @, c- Q0 V
( I& e& [% h& F9 I Yy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
& w; K- `% |+ k3 ~
; {. x5 \+ q5 q) X同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

2 c1 Z+ `& |0 ]: H% o9 la = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
; ]: _- u6 h- i) X4 Z

& o- d" W ~" x" x( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )
- G1 e$ {- v+ m2 U% R
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
# t+ I! F- A6 u0 M# {0 p5 u因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

, l: W: `- }9 [% V8 ]0 y9 C　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。