ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
; `. T4 t: P6 l3 V+ ^ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
) U7 a9 A+ ]& N" L
/ b8 H$ J2 P0 a( m9 E7 E* b! ma = g^k ( mod p )
% m0 G. o3 t& f, V3 `# ^' {再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
7 y' i. y' p9 F X* b* o" s
J, P& k. z( AM = xa + kb ( mod p - 1 )

, m) _2 O+ v) {. e* i/ k6 f+ {- ]签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：

y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
; j* Y& A9 Y) O1 H4 J' C$ b
5 e2 d: \: X/ }( @同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
1 h1 Z! Z, [+ K; \7 V3 C! L# ~$ cElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
4 `5 _& D. e! K0 }

( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
' M8 j$ j/ g# p* M9 j8 E% T
M = b / a^x ( mod p )
' {3 p3 `2 H! M0 ^
- [) D% a" a9 u, S　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
" y/ j: m% H8 I8 `! `变而来。