ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
1 n' Y9 a. d; X& u- [2 E& Z: j6 N密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
4 E4 i- B# y# C3 p+ c$ Q3 Z4 S7 p0 V
a = g^k ( mod p )
. p5 m, L1 W4 g7 D6 p再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
2 X1 }, T1 z( i2 @: M8 M% P/ m
M = xa + kb ( mod p - 1 )
# c' f! c3 K, G& _8 y# q
: G& s% K) S" w: N o0 I: _6 ?$ a签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：

; n( o% | d& T D- M' H! a7 U! H+ sy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
# a- B. T# @; o1 m! G+ T
. ]9 i# m2 b' d- b6 |, Y同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
( O# D- R) R7 bElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
2 l: p) l! |- Y0 ~) i) @ zb = y^k M ( mod p )


5 ^1 K, e; k* p# F4 Q, q( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )

　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
|( H; K: l" y$ I
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。