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ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名,其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。 . e* b; D& b y2 W
密钥对产生办法。首先选择一个素数p,两个随机数, g 和x,g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p ),则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
+ q, q; }" S }. |5 _+ T5 fElGamal用于数字签名。被签信息为M,首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质,计算
0 W' h* F8 Q4 r1 a - Q8 y6 {3 L4 `3 e6 t3 L. o
a = g^k ( mod p ) ; E$ j: V$ ~3 u8 ^/ w
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b:
/ k$ n' j" n# P, m+ _ & g1 w. x8 Q& U) P2 {% s( o
M = xa + kb ( mod p - 1 )
# X z) a e5 V$ C
- P, N" ~; ^7 j& |- j签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。 8 A" Q9 C8 S9 C% {4 a# }3 O
验证时要验证下式:
, h; L/ \$ f- e; U1 E& ]; L
, T D# _1 B2 L gy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )
* z8 `/ r) v% j( M; Q! W/ H 7 C4 H1 Q- M' `
同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。 % z9 g( m6 O5 o
ElGamal用于加密。被加密信息为M,首先选择一个随机数k,k与 p - 1互质,计算 , a. H2 p1 Q) @5 v* ^) ~% N. r
& o& Q% q( S5 y' Xa = g^k ( mod p ) 5 g# c* e6 d+ S$ p9 O/ f
b = y^k M ( mod p ) 4 }3 W* Q) s2 n
8 Q! Y t3 v( j, K 5 H0 ?" @0 R1 j2 j) K9 s
( a, b )为密文,是明文的两倍长。解密时计算
8 V( |! N* s0 M8 H 0 r; q4 z1 F3 q4 X
M = b / a^x ( mod p )
1 j# T- j4 N+ o, F4 n3 i0 ^4 ` 1 D' c6 @7 \: h5 X2 f) I0 ^
ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大,且p-1至少包含一个大素数 ) G3 C$ h# Z, O# t) z7 f
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g,若选取不当则签名容易伪造,应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。 ! e8 g Y7 k* W, q% V5 \& b$ q# W; H
( p2 t& a0 l/ n# U* V8 H 美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演 , u- o/ S3 Z. T& q. _
变而来。 |
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