ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
1 r3 f/ I/ o/ `. [) O5 q- e再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )
) Y- F+ x# a: _; }; M
6 q1 o0 A* a5 A# p8 b签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
& k: B0 Q Y8 Y: W
+ m7 K& `" w& F# ^. vy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算

V. e2 r% `3 a. va = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )


( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )

+ o. {. C" M# c' b5 h+ g　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
7 |2 z7 U8 R% ^3 v因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
3 C1 O$ O7 ?8 z2 O# b
6 v% J" ~4 G1 g, m　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。