ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
* H7 i% z8 n" @$ e ]* p密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
7 G6 O ~* K3 B5 G, ]ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

M = xa + kb ( mod p - 1 )
* y7 B( ?3 {. ~ y
6 I6 ~( C3 y! u0 @4 d& e签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
6 L; O: R+ ^+ O2 G( D! W9 m
y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

, p& X9 U6 @% n/ I' h同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
- M# M5 Q0 j, a' `ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
9 k" y& z6 q& n6 |" i# i
1 p- ~! U# E5 U Z- s" da = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )
0 G6 ~3 q. k, _1 W2 v4 z _3 z2 A

6 ]; n$ a' O2 Y- Q# g( c g& e' Q( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
( m0 A9 P4 n7 m/ G
M = b / a^x ( mod p )
; \+ \2 q( D0 P7 k& b
. D% T9 v. t0 y3 G' J: o, e　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
* _/ [' w$ Q6 _2 C. |因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
3 @2 t$ b7 g7 K b9 O2 B3 w
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
5 E X* n6 `6 K! j! z3 u. o变而来。