ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算

a = g^k ( mod p )
再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
- C; D& N- F; l$ T6 K5 v1 O
" I7 p1 z* o2 C9 G$ AM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
6 Z2 n6 @: ]# v5 {1 E
5 S2 F$ D$ r; N) V1 \/ d5 H9 Hy^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

- r: U$ n( y6 t4 v7 d: w同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
0 B8 S) f% p$ wElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
+ k0 j& p' F F- i8 O
4 f& q4 l" w9 d+ n0 Ra = g^k ( mod p )
b = y^k M ( mod p )

% [ z+ }" B1 y) B$ \5 F* z3 d
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

: Q3 M7 k% ~' Z+ @# {M = b / a^x ( mod p )
! P: s9 [- d7 K3 ?
' U. }1 l# Y1 D3 z3 |　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。

' U y+ I8 P6 T. G' L9 \% k- a　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。