ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
# v& p) S- O# Z Z1 w. K* M" |; m密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
ElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
& b% T' i/ T% _* S2 K" ]
a = g^k ( mod p )
( l: S8 Y' w; B6 r再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：
' z4 _7 k' ^+ N1 U
* [2 _, e, g& H# S2 ~* C9 {. C) PM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
2 W- W% O; m# F
l! s( p: r- q o# [y^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

! K8 i: {/ |# l) d! `同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
4 B4 u$ e6 \/ |" {& Y
a = g^k ( mod p )
; B& u: L/ |8 k7 hb = y^k M ( mod p )

+ M- `8 A" O1 a- N
( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算

M = b / a^x ( mod p )
0 N1 A j$ W8 g9 k
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
$ v4 K6 b3 x. z5 L7 h4 d( O因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
: z5 [' ~0 F! L; g/ T0 `. c
, h2 B9 f6 C5 `/ x( V+ Z' @　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
7 {2 p( `& p2 A4 C变而来。