ElGamal加密算法

乐乐天

ElGamal算法既能用于数据加密也能用于数字签名，其安全性依赖于计算有限域上离散对数这一难题。
1 G( ?6 T- |4 y4 X% W密钥对产生办法。首先选择一个素数p，两个随机数, g 和x，g, x < p, 计算 y = g^x ( mod p )，则其公钥为 y, g 和p。私钥是x。g和p可由一组用户共享。
/ X6 U2 ~( E- B5 c& w9 jElGamal用于数字签名。被签信息为M，首先选择一个随机数k, k与 p - 1互质，计算
6 [! a, J" X5 g3 d# e
a = g^k ( mod p )
! p2 b3 |! n* M, V' b0 E1 T9 u再用扩展 Euclidean 算法对下面方程求解b：

9 r6 e% t/ _- r/ k# {& sM = xa + kb ( mod p - 1 )

签名就是( a, b )。随机数k须丢弃。
验证时要验证下式：
# J: F, \* W; h- \
/ {. K0 T0 M* }* T. py^a * a^b ( mod p ) = g^M ( mod p )

. J( g, D4 u% `) w同时一定要检验是否满足1<= a < p。否则签名容易伪造。
ElGamal用于加密。被加密信息为M，首先选择一个随机数k，k与 p - 1互质，计算
+ r$ p5 d. k9 n9 ], I
( a1 m [; E# @5 }' ?9 r# A$ @a = g^k ( mod p )
' U3 k7 L& y. Lb = y^k M ( mod p )
. s, b; Y/ d! Z" S' Q
* M" Q d9 t+ g
$ \9 }! O) u! z( j& k6 ? A$ C( a, b )为密文，是明文的两倍长。解密时计算
: x/ _4 ]5 d. }7 w+ s: A
8 H( d% ~; d7 C- H0 q( v' tM = b / a^x ( mod p )
& L4 {0 O; [: r& x! c
　　ElGamal签名的安全性依赖于乘法群(IFp)* 上的离散对数计算。素数p必须足够大，且p-1至少包含一个大素数
因子以抵抗Pohlig & Hellman算法的攻击。M一般都应采用信息的HASH值(如SHA算法)。ElGamal的安全性主要依赖于p和g，若选取不当则签名容易伪造，应保证g对于p-1的大素数因子不可约。D.Bleichenbache“GeneratingElGamal Signatures Without Knowing the Secret Key”中提到了一些攻击方法和对策。ElGamal的一个不足之处是它的密文成倍扩张。
" G! I4 E: h5 m' |+ d! l. P
　　美国的DSS(Digital Signature Standard)的DSA(Digital Signature Algorithm)算法是经ElGamal算法演
变而来。