rsa加密算法理论

乐乐天

它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :

/ r7 ^# F# f2 ^+ B, ^' s[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
2 }( ^5 X* _% t, \! ?. j其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
- |0 K0 h+ l; e I' R3 op, q, r 这三个数便是 private key

7 N7 ]; e+ p6 k4 ^2 b7 X: s接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
再来, 计算 n = pq.......
m, n 这两个数便是 public key

编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
7 e% \; Z% X9 l5 R0 B3 b/ F如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
) H, {4 C+ J/ J+ Z- ^$ H& E7 Q1 r接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
( c5 k0 R j* C7 {" {$ g+ X8 P2 n, ]b 就是编码後的资料......

7 }2 ^( n* v2 |# M! |8 p解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
0 G! h2 I2 p! i於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

% F( \7 L" [, k. i: ^如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
% i/ [8 S" z' ?3 w5 {所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
: ]% f; u5 ?: J1 o使第三者作因数分解时发生困难.........


<定理>
( T, T8 y( p! j& |$ [; q `; S# y若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
$ M! q. w6 m( L3 i; f1 v. Xa 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq

证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
) E+ D) F9 B' Y/ \m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........

# z4 e4 `: L; i( {, ^% t6 Z. d# g<证明>
/ c+ T. X) N3 ]因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
' t2 u$ r9 T$ Y4 F(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
, V# H1 s& e' N2 p; m9 n所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

5 ~7 x' H+ n3 X1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

" G A; U0 G# F2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

) W( p% k) q2 a! U( J' C3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

- L x7 ?$ ^( W: H0 M# v8 b( ~4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.


1 v% b6 _) v3 [这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
! a& s6 k0 y" W8 Y5 `- I0 h( }$ O所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

二、RSA 的安全性
* A% @5 Y" ?; B% b1 B
" n. u `: p6 D- u[PP]RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分