rsa加密算法理论

乐乐天

它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
$ U& K2 R0 G/ j- X, V
G+ I4 o2 z, b# H+ b1 t[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
p, q, r 这三个数便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
再来, 计算 n = pq.......
- Z( i' J# K! A) N8 l4 Lm, n 这两个数便是 public key

: w3 P; W( I5 g# J8 U9 F. k编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
0 ?5 L6 b* A" b3 g l4 A# N如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
' o( H3 t. r+ n) {接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是编码後的资料......

解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
; r2 F- J- F& b/ o於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

6 j j& S7 @8 Z8 E) w. O) ]$ A如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
! {" F" `( N2 [& i, T* P4 t他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
使第三者作因数分解时发生困难.........


<定理>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
9 U* S+ v" W6 e, _7 e& X/ ia 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
. ?3 m# g3 F. o' e( R* h则 c == a mod pq

证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........

8 L+ S7 k0 ]4 A8 j<证明>
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
' s0 b9 ~1 o% J) V! b因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
4 n9 K5 i# o$ B' B(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
3 }1 d. J% e- j) X7 ?0 k所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

1 S- @ |; V9 |" `1 Y6 t) d5 W3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.


4 l$ r- _, _" r, ]* ~7 b5 b这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
$ ~$ Q% _' b4 l4 `3 o6 y% z所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

二、RSA 的安全性
+ O6 d8 ?. _7 Y6 {9 A; r
! F# V6 \* Q1 D/ F( ?( J[PP]RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分