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它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作,也很流行。算法的名字以发明者的名字命名:Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击,至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
7 X. T4 P/ m- f: q: B 0 b; |7 c. b- y% u
[PP]首先, 找出三个数, p, q, r, ! A% r P) m8 A/ U; W# i9 `
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
* K* x6 w$ I* r$ i- J$ T/ k% v0 Pp, q, r 这三个数便是 private key
6 b* m$ l# a# f+ U* \2 X接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)..... ! M5 @3 y) f1 J/ C7 N: _
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
3 ^% f0 S' S v9 H9 T再来, 计算 n = pq....... 9 N- ?; F: X9 o5 r& K9 t0 v2 `( q3 I/ O! H
m, n 这两个数便是 public key
3 h9 o# v( {7 |
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
4 T6 T7 G% A/ o. U如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
. o$ ~' T/ B) {0 D则每一位数均小於 n, 然後分段编码...... ! @. [: Q/ Z$ _" o; l
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n), $ W3 A% V- L( j. x! |
b 就是编码後的资料......
0 ~% ]# ^% l# j$ d/ Y. L9 q0 j+ o' F
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
1 ?! g+ b0 O) X8 ^於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
- M- ]* h, I c ^, Y
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b...... 9 ~4 Z3 x! r- {1 V/ }
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r...... ( k% ^. j+ {% H; ]/ a
所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
5 w( @4 W/ z6 c3 B; {( y要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
3 B4 g6 _3 d* p! N2 V1 r3 J使第三者作因数分解时发生困难.........
1 b1 P4 H# w/ ?3 L: A& G! N. c<定理>
6 l- N" Q* o6 @& P若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), # R( K% O$ F" i
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, $ n. a. i: f$ B4 H; I; X
则 c == a mod pq
6 L4 y& X: O8 ~5 B
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
. w$ z8 y# `* e O6 O# {, Dm 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
. W- M4 [( t" U8 t; v& J(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
, N4 U% T" Z% i运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
. Q- e/ t% B0 O
<证明> ! B ?6 @* J# C' y9 h
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
p4 u) i( x+ ~2 t8 ~! S P( B4 M' M因为在 modulo 中是 preserve 乘法的 5 r+ |% e3 h# ^& h B
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
. F0 Y) Y% X: ^& q- o8 Z所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
; i" U# z7 V+ t6 ~
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
5 z! E' j7 ]( v1 H
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q => q | c - a 因 p | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p => p | c - a 所以, pq | c - a => c == a mod pq
- R/ K7 E- {( n7 e L) a* P
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
$ b e' i: [+ P4 U
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 则 pq | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq => pq | c - a => c == a mod pq Q.E.D.
( P' p: d3 t' o$ Q3 ~这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq).... $ I! L' P; P" `( d" z0 ~+ o- X
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, * a: O+ A' q# K, r# a3 \% j
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能..... # p. \7 d) l0 T" ]
4 `! M1 X, a$ y3 P, d* z6 _二、RSA 的安全性 1 g7 j! b9 h* i+ S
; w: r, M, U$ L: q+ c! Z* u& @
[PP]RSA的安全性依赖于大数分解,但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明,因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法,那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前, RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分 |
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