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它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作,也很流行。算法的名字以发明者的名字命名:Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击,至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
( x5 t4 A9 }4 J- {2 {3 X$ i # _8 P# Q/ i) t" W5 V: \) H- [( z+ ?
[PP]首先, 找出三个数, p, q, r, $ R- `7 {1 e6 O1 d
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
9 I- L. A& J+ yp, q, r 这三个数便是 private key
6 |* L* K# a6 v, p, V& `接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
) I; G4 b- F* s+ ^3 r) K这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了..... 4 ]9 e; U9 T" Y" m
再来, 计算 n = pq....... ) e9 A8 M& C: K) X
m, n 这两个数便是 public key
- f4 ]# _% v- {6 M" E& g y. E0 |
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
' V( i9 i* q( ]/ a x如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
! t- P) d6 P" D/ z& d3 W则每一位数均小於 n, 然後分段编码...... ' T9 P% b' W+ D" X- E" C3 U
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
, v+ X) U2 }, v- m* ^b 就是编码後的资料......
& Q7 h( ]. r$ S* `- W+ A
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
! R; }7 u+ _4 @. ~ ?% B' t4 @- t於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
/ A8 X4 a; b3 L% n) u3 r6 T/ I5 H如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
5 \/ Y, }3 X( Z q- X他如果要解码的话, 必须想办法得到 r...... % R& e: `4 o5 w) s, [, p1 H- ]
所以, 他必须先对 n 作质因数分解......... : K& a8 g: N8 J: d! ?
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q, 9 `4 ]% p& S3 G, Z/ b' u
使第三者作因数分解时发生困难.........
6 S& M) B" {1 ?2 R+ j$ T<定理> : ? S& h& X3 }5 M. U1 z+ J# F
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), 2 ` G; z9 G% U2 g& n1 f
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, " d, ~% T% ?. I9 D" {/ K
则 c == a mod pq
: p0 R" N2 I" C0 I& c证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
7 Q+ Q' I1 j4 ^" E5 T, Hm 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
" ]1 Z+ g! V4 s2 [+ O# E" J7 z; J' w(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m) 0 s1 a* _6 M5 P8 t
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
: L0 H6 B! @- G1 M
<证明> " Q8 u5 g! @9 N9 o6 E
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
+ r3 ?& B r/ c因为在 modulo 中是 preserve 乘法的 7 F) u9 X+ m% x1 e5 p
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
' D! U) g% H6 w! N; U* w9 I* }) `所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
) F5 J& l& Z3 v- E# G: H
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
9 f4 q5 T" B# c* ?. @
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q => q | c - a 因 p | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p => p | c - a 所以, pq | c - a => c == a mod pq
$ l+ z' v. [! [% y' \3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
/ x) t9 e: A# ?( Z* `2 s/ v
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 则 pq | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq => pq | c - a => c == a mod pq Q.E.D.
8 A9 t# ~5 L$ P$ d1 y9 k
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq).... - e+ J+ K$ D6 P
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
, ]. x+ Y* E4 g4 R所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能..... 1 {0 g" h3 G# v; v
w* a5 c: h' {5 N
二、RSA 的安全性
( }: X( Q5 n- v' X' o) k
- r/ n& S5 ?) H' X& z[PP]RSA的安全性依赖于大数分解,但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明,因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法,那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前, RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分 |
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