rsa加密算法理论

乐乐天

它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :

[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
p, q, r 这三个数便是 private key

; @; @. g( S2 u- R接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
, W* p% ^$ ^3 @0 x v, d4 Y* y1 j- z这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
( U4 {- `7 W1 }6 t+ R再来, 计算 n = pq.......
m, n 这两个数便是 public key

- i$ a5 e9 j; E1 Q编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
, M! B- v( I g$ ]% k' s9 F u如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
; a8 A) S- x- V' y1 H' s6 m2 e n接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
* y# E4 ~$ W u0 e6 s# m3 q1 ^b 就是编码後的资料......

$ S6 [" [7 N( y解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
' J* }: u' ^7 p5 p4 L他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
( j% ]* h, B) _" `6 D9 n; D! x所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
. A: E7 E' K" d" I7 B. O% Z要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
使第三者作因数分解时发生困难.........


<定理>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq

证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........

<证明>
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
0 J& e& H: f: E; j& z3 [- J因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
! y4 M- Q; `8 `% \. {7 P所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

6 V4 n! q( s3 ] c$ g: V% q+ R4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.


5 Y9 X: e$ v" o8 \+ {这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
* t. y4 o" v: p( |6 ]3 l但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
( U' ]3 ?+ C# V* I* @! k所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

6 Q4 s2 M& s9 ~$ U$ ]二、RSA 的安全性
+ ]' K/ p: e8 k" C6 l1 j5 k
[PP]RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分