rsa加密算法理论

乐乐天

它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
* H* h# A3 s: Q1 D. }
$ J0 ^: m: M1 t, X& M[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
7 j: O* p: ~6 ?( d/ v. j9 G0 _ t其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
p, q, r 这三个数便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
/ m4 M: ]4 o3 B: [, L4 ?再来, 计算 n = pq.......
) r- a3 B0 E4 x2 B5 Rm, n 这两个数便是 public key

编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
' c* M. h" m( m# a: N6 H* y接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是编码後的资料......

- j$ \. d6 g1 n' y* p8 l解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
- v0 D6 W% F! f0 E" N2 {於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
使第三者作因数分解时发生困难.........


<定理>
3 u+ |5 q+ l! j% r1 k8 h' x/ c若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq

证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
9 V0 M8 o4 K/ D- ]' f+ Im 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
$ p) S0 |! M$ {) \, Q(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
7 _1 e/ K( d$ T运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........

! @5 d2 D {% O1 w4 A% n* W/ z<证明>
" ^2 ~6 H+ U1 v9 F# q8 a4 s因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
9 h# x. z1 E5 G/ w: L) q# V7 w- e0 r(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
+ S4 a ~: x3 a+ c所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

' J, w+ ]; z4 F( L) C" z: b4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.


这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
5 a' y7 \/ D, \3 \5 {: n* U但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
: I( p$ O* I! T所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

. C" n8 ]7 N( B1 @. N( G( x; A. r% z二、RSA 的安全性
& ?1 D: `# Y) z( @/ v. l G
[PP]RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分