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它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作,也很流行。算法的名字以发明者的名字命名:Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击,至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 : 6 E d/ U$ i; d& P0 `6 H
/ |7 s; T- g: X) L, j9 @1 O8 J[PP]首先, 找出三个数, p, q, r, * \ H8 X! Z* b6 g3 S" ?$ t- ?
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数...... ! q- e; |0 c; G/ b+ ~) c2 p" u4 ]
p, q, r 这三个数便是 private key
( M: K, p9 V' _2 M! k) f: `# b接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)..... # N* [ [9 P+ e* X/ X, b3 m# L3 R8 C
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
* F$ A! {4 J- ] S# w再来, 计算 n = pq....... 8 W: @1 q7 `- \
m, n 这两个数便是 public key
5 g+ t# c- W$ f1 X- O4 @4 A0 D编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n.... : E0 j9 f x \' H: F8 X
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
9 U+ f' m0 F! q3 b( ^则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
3 @ Z# X& ?6 L( M接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n), 5 j/ r/ v- P" b4 |$ b5 C3 B
b 就是编码後的资料......
0 P! A3 Y# O7 U3 q解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
2 t9 B5 R( `/ O2 c/ v! F於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
3 A% Z/ T/ s7 m4 ~7 w1 s如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b...... - J5 s; j4 z2 K }, x% p
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
2 x% E9 l( q+ K7 M+ E/ q所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
1 i" b: Z7 }/ v/ j要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
- {, A6 E* L# z% } f6 o8 e( Y: }使第三者作因数分解时发生困难.........
3 K. c2 ]! D" }0 [" J4 e& v
<定理>
: L! ~# w: Q4 H若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), 7 u$ p9 x& v. U. i
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
5 \) [! f$ V5 o& K, n. Q则 c == a mod pq
( ^ z, i9 E; ?4 |+ {6 }
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
2 R6 x/ P; W. H% fm 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
7 \ l- R0 n* u(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
; y# |4 u; x4 |4 e- E% G9 {运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
& R- w* z! i; `5 x
<证明> ' _. L" X! Z4 P) K/ b. i
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
`8 t. a- I7 v I! x. V因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
8 s+ g5 M- w. Q5 ? F(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
; e" p% }, V) e" `' Z9 z所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
a; {0 N0 h6 a1 ~* C
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
+ h" l/ h/ X2 q0 q F. A
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q => q | c - a 因 p | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p => p | c - a 所以, pq | c - a => c == a mod pq
% ^+ C" w' V$ b h6 \) `3 B# w5 u
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
* s+ s) b! q2 F$ c+ \4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 则 pq | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq => pq | c - a => c == a mod pq Q.E.D.
+ M3 _- ^% ]8 A& E, U% Z
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq).... 9 A! N2 ~) Z; X( f
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, 7 p, B! _9 ]5 o/ B) g2 X
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能..... , P: F$ i8 t& Q( }( A4 S
' ]+ m3 B# \' v/ h8 i
二、RSA 的安全性
5 D2 j" l7 f- i3 @2 n3 ]
' d" E# l. V4 ~* Y7 H( j9 G3 V D[PP]RSA的安全性依赖于大数分解,但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明,因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法,那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前, RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分 |
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