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rsa加密算法理论

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发表于 2004-11-26 20:01:38 | 显示全部楼层 |阅读模式
它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作,也很流行。算法的名字以发明者的名字命名:Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击,至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :
P4 q% l" I* o n! M' G
7 `( f7 z2 Q4 K5 u$ a5 Z6 V P [PP]先, 找出三个数, p, q, r,
2 P5 M; O+ _! _其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
' J$ o" m# o/ r1 O( _: T: B8 x, n p, q, r 这三个数便是 private key

# _$ b4 S& A3 v" \9 R接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
5 t% Z; l# S! o- t- ^, ` 这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
+ v7 ?2 M* U+ S7 a! ~' P$ p, f; [; B 再来, 计算 n = pq.......
7 y8 g/ @/ |6 }6 f- V5 @7 ? \ m, n 这两个数便是 public key

2 j6 a- t" Y# [: e5 q: y 编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
- c% F! k% p3 H- c+ X( { 如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
3 u1 p# g/ z, S2 ?; |. Z5 z 则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
# S# I' n3 t; H \ 接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
% q% ]: b6 }/ xb 就是编码後的资料......

3 M( L' k: Q1 p2 m7 Q% d7 m$ [ 解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
R& E; A: \" K" Y8 K) Z; X 於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

) X& P5 g! G; p3 z s% [ 如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
; D9 I/ d. a/ \; s j/ T 他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
* c- Y% G' Y1 v1 u所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
$ ~6 k4 X6 k8 Q l 要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
6 V0 O' u. m" }3 V7 R使第三者作因数分解时发生困难.........


2 o3 C( |3 }% l$ ~* p$ n; F <定理>
) N7 B6 s* U% ~ J若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
2 M! j, n2 A7 J; ]4 \0 H a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
; u8 L3 g- l( [% z: Q0 m S则 c == a mod pq

h9 U. [4 M! `& ]证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
V% g8 }& G: R# Z7 j) _" D m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
0 A2 T3 v6 f8 h- T* q6 ~7 `(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
. Q% d8 s0 Z7 g. C7 n运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........

8 A' s& {8 m! M4 B9 h- F, J2 F1 b. R! q<证明>
$ e, G2 W% Q. v- `3 g; ?3 R因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
) F- ]! }* s- w- u: @4 g' e因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
, `$ T2 F$ k2 ^# K( H# [" | (x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
; |4 Z; n. Q: V' d, b: d 所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

% W5 z& C! I' e/ ?7 `. _1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

7 @7 M9 ~; C, J w& s9 t2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

/ a4 ]8 D( T' _' ?% @ 3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

. o( [! j# x8 P+ s 4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.


: Y( a) T+ C6 l/ r这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
! I0 c; r! j7 _$ P, u但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
) k+ g" Q, f% l" K 所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....

i; Z5 ?+ ^- F3 A, `
# m, w) V9 {: R4 E二、RSA 的安全性
; U* {3 ]% p; s. k
' A8 Y' F! f8 M% @[PP]RSA的安全性依赖于大数分解,但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明,因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法,那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前, RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分
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