rsa加密算法理论

乐乐天

它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 :

8 ^1 F3 c, \. F# c' b[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
p, q, r 这三个数便是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1).....
8 H: }( b0 e' f8 U这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....
]1 S+ y2 K# A+ w) {+ H7 [0 Z再来, 计算 n = pq.......
+ H" z' ^. d: Gm, n 这两个数便是 public key

8 I% h# g8 |: E6 ?编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
! q# G0 ~7 @' y4 C0 J9 H6 b如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t),
8 q$ B! q& m6 @" `4 `4 _, H则每一位数均小於 n, 然後分段编码......
/ U4 n- |: f. p2 i: |& ^, H接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
" O0 I& K2 p4 [b 就是编码後的资料......

解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
`5 n! C) [7 Z5 [" Z於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)

- S' C3 f4 q( }. @* s6 c" C$ ^+ x# |如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......
G8 O- E3 _( |+ x3 ?+ \, B他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
6 K; c$ _- f# E7 n7 e( ~: ^& J所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
, y' d* X+ }6 Y& u X使第三者作因数分解时发生困难.........


<定理>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
: q7 B$ i% o; f+ p& d. b% W; F5 Ca 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq

9 ?. D/ _* x# }) x证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........

. L" J$ m- _- u a2 ]<证明>
# g5 O' O* [+ }0 ?9 \/ M' R因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
: e. J0 {& S) F2 r- \6 v1 n因为在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

) c( ^/ k5 O2 l7 w( E0 y8 G5 d- t1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

6 x7 e u% G" n% t$ p3 `2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
=> q | c - a
因 p | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
=> p | c - a
所以, pq | c - a => c == a mod pq

( C4 k1 C$ u8 W, ]3 ?4 v4 t% C- x6 h& e, \3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上

4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
则 pq | a
=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
=> pq | c - a
=> c == a mod pq
Q.E.D.


# Y% L3 L" D8 H) }2 A* v这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq)....
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....
& g# @- C; \7 L! C+ m+ ~
: Y& c4 f3 W( d, c! V8 O6 A二、RSA 的安全性
) I3 Q z C/ S0 t( E$ g2 ~
, [8 B' A O. q! B4 r[PP]RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分