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它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操作,也很流行。算法的名字以发明者的名字命名:Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。它经历了各种攻击,至今未被完全攻破。[PP]一、RSA算法 : / H0 v, n) ?0 n3 t- t3 x
2 F) g0 d/ Z2 J0 q. j0 d[PP]首先, 找出三个数, p, q, r,
+ s, @8 D! S7 d5 D) |. B其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数......
1 {' j% a5 \9 W6 E; e& J+ xp, q, r 这三个数便是 private key
; ]& h; J/ S. j3 ^( d: [
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)..... ; s7 h: J9 \. F6 u$ i' l
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了..... ! z/ u# b0 y: `/ z) q+ q
再来, 计算 n = pq.......
7 ?" {6 Q. U$ b Z: Jm, n 这两个数便是 public key
& {5 z$ F3 W( u' b编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....
5 e2 e; G9 {6 J6 x8 V如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t), - D% q& u% \3 b- n' e7 {2 V
则每一位数均小於 n, 然後分段编码...... 0 K+ J& W* b V4 c; A% Y
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
3 {1 R) H. r( c6 g7 k7 ]0 sb 就是编码後的资料......
2 v8 m; c0 u d+ s( F# a. U" l
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq), 7 z3 F. p5 H7 k, j( D
於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的 :)
7 x" T/ F5 u S
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b...... # d# A: F5 f4 p j# U$ v- B
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r......
1 @' I* R- B7 e; G9 K所以, 他必须先对 n 作质因数分解.........
`5 e: |: b, I# N$ [, @) j. |2 c要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q,
" ?. [/ u9 Q( Y X3 A使第三者作因数分解时发生困难.........
0 j- D6 P3 Z% V. S1 L
<定理> 9 d$ w! x7 t4 |
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), 9 f/ S) B2 k( }0 L' c8 o
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 1 U( [% q% O# f0 a) P- f; ^
则 c == a mod pq
' o. ]6 T. ^# N, n0 i/ i
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:
- m9 U$ r2 ?. ?m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
: T, W' t) \2 U% a(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
" d1 x7 X3 C* [运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........
, e. G0 B/ C J, f
<证明>
" s9 R8 K% ~; K A$ L8 u2 I因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数 1 E- f {" o7 c
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的 ' r4 F3 b9 d/ [) b: L) f
(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),
$ X3 H) C9 l$ j4 ^所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq
5 G+ P8 V7 q/ Z, A9 t' W
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq
7 a- w$ d) l4 d" p) T
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q => q | c - a 因 p | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p => p | c - a 所以, pq | c - a => c == a mod pq
3 `% H9 G. |6 E$ c
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上
; ~) r( ?9 Z/ A. n( I
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 则 pq | a => c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq => pq | c - a => c == a mod pq Q.E.D.
$ z' i4 @6 f. X/ h3 G
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n (n = pq).... , c( @3 f; y# G" ^: h7 M# k# V. c
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
( K7 A5 l. j; Q- A* i: P+ N2 M所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能.....
8 u$ W+ t$ U. R' ]2 ?, k
y+ S' B1 r# L N) Y1 Z二、RSA 的安全性
9 N- v, R# F1 i2 E4 i) u, v9 R3 C
- B- |: V" ?. }5 T8 E2 z$ X3 ? \3 d, v[PP]RSA的安全性依赖于大数分解,但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明,因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法,那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前, RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分 |
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